뉴턴의 만유인력의 법칙

사과는 인류의 문명사에서 가장 중요한 과일 중의 하나가 아닐까 싶다. 요즘 전 세계에서 가장 잘 나가는 기업의 로고가 사과이고, 여기서 소개하고자 하는 뉴턴의 만유인력의 법칙도 사과와 관계가 있다. 현대적인 개념의 전자계산기 이론을 처음으로 정초 한 영국의 앨런 튜링은 독이 든 사과를 베어 물고 생을 마감했다. 아이폰과  아이패드로 유명한 애플사의 로고도 사과다. 오른쪽 귀퉁이를 베어 문 듯한 그 문양이 혹시 튜링이 베어 문 사과가 아닌가라는 얘기는 지금도 계속되고 있다.

떨어지는 사과를 보고, 뉴턴이 만유인력을 착안했다?

널리 알려진 일화에 따르면 뉴턴은 나무에서 떨어지는 사과를 보고 만유인력의 법칙을 발견했다고 한다. 하지만 정확한 사실관계를 확인하기는 어려우며, 뉴턴이 떨어지는 사과만 보고서 대발견을 하지는 않았을것이라는 게 중론이다. 뉴턴의 만유인력은 중력에 대한 법칙이다. 중력은 질량이 있는 두 물체가 서로 끌어당기는 힘이다. 중력의 뜻은 지구 위의 물체가 지구 중심으로부터 받는 힘을 말한다. 여기서 물리학적으로 중력이라 하면 대개 질량이 있는 물체를 사이에 작용하는 힘을 뜻한다. 따라서 이글에서는 지구 자전 효과등은 고려하지 않고, 순전히 질량에 의한 힘만을 생각하기로 한다.

역제곱의 법칙 : 어떤 물리량이 거리의 제곱에 반비례

만유인력의 가장 큰 특징은 중력이 두 물체 사이 거리의 제곱의 반비례한다는 점이다. 물리학에서는 이처럼 어떤 물리량이 거리의 제곱이 반비례하는 경우가 간혹 있는데, 이를 역제곱의 법칙이라고 부른다. 뉴턴은(프린키피아)1권에서 행성이 역제곱의 힘을 받는다는 가정하에 케플러의 세 가지 법칙을 유도했다. 또한 힘이 정확하게 거리의 제곱에 반비례하면 그 궤도는 닫힌 궤도임을 쉽게 보일 수 있다.

그렇다면 중력은 왜 거리의 제곱에 반비례할까? 중력을 직관적으로 이해하기 위해서 우선 큼직하고 둥근 사과를 하나 준비하자. 이 사과의 중심을 향해 가늘고 기다란 바늘을 여러 개 꽂는다. 바늘은 최대한 많이, 사과 표면에 고루 꽃을수록 좋다. 단, 모든 바늘은 사과의 중심을 향하도록 꽂아야 한다. 아마도 여러분의 사과는 고슴도치가 바늘을 곧추세우고 자기 몸을 둥그렇게만 것과 비슷해 보일 것이다.

사과를 지구라고 생각하면, 지구가 자기 주변에 미치는 중력은 여러분이 꽂은 바늘과 같이 사방으로 뻗어나간다. 그래서 바늘이 촘촘할수록 중력은 더 세진다. 만약 여러분이 지구가 아닌 달의 중력을 표현하려고 한다면 바늘의 개수를 1/6로 줄이면 된다.

이제 사과보다 두 배 정도되는 투명한 공이 바늘이 꽂힌 사과를 감싸고 있다고 생각해보자. 투명구와 사과의 중심을 잘 맞추면 사과에 꽂힌 바늘은 투명구를 뚫고 여전히 방사형으로 뻗어나갈 것이다. 그러나 사과 표면과 투명구의 표면을 비교하면 한 가지 다른 점이 있다. 즉 바늘이 사과 포면에 훨씬 더 촘촘히 박혀 있다. 이것을 좀 더 정량적으로 말하자면 사과 표면의 단위면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수는 투명구 표면의 단위 면적당 꽂혀 있는 바늘의 개수보다 많다. 그러니까 사과 표면에서의 중력이 투명구 표면에서의 중력보다 더 세다. 그리고 바늘이 많은 정도는 정확하게 사과 표면의 넓이가 투명구의 표면적보다 작은 정도이다. 투명구는 사과보다 반지름이 두 배가 크기 때문에 그 표면적은 네 배 넓다. 달리 말하면 같은 넓이를 뚫고 지나가는 바늘의 개수는 네 배적다. 이로부터 우리는 중심에서 두 배 멀어지면 중력은 네 배 줄어듦을 알 수 있다. 이것이 바로 역제곱의 법칙이다.

만유인력이란 질량이 있으면 보편적으로 이 힘이 작용한다는 의미

뉴턴의 중력이론은 만유인력으로도 불린다. 만유인력이란 질량이 있으면 그 어떤 물체이든 모든 물체에 보편적으로 이 힘이 작용한다는 뜻이다. 중세의 아리스토텔레스적인 세계관에서는 천상의 행상과 별들을 지배하는 자연법칙과 지상의 물체들에 적용되는 자연법칙이 달랐다. 천상은 완벽한 세계여서 그 속을 운행하는 별과 행성을 완벽한 원운동을 영원히 지속한다. 반면 지상의 추한 세계에서는 모든 물체가 힘을 추동하는 동인이 끊임없이 접촉하지 않으면 운동을 멈춘다. 잘 알려진 바와 같이 뉴턴은 사과를 충분히 세게 던지면 지구가 당기는 힘을 이기고 달과 마찬가지로 지구 주변을 궤도 운동할 수 있다고 추론했다. 반대로 지구 주변을 도는 달 또한 나무에서 떨어지는 사과와 근본적으로 똑같이 지구를 향해 낙하운동을 하는 것으로 생각했다. 즉, 천상의 질서와 지상의 질서가 뉴턴의 법칙을 통해 하나로 통합된 것이다. 더는 아리스토텔레스식으로 천상의 자연법칙과 지상의 자연법칙이 나누어지지 않아도 된다. 질량이 있는 물체들 사이에 단 하나의 "보편법칙", 즉 만유인력만 있으면 충분했다. 여기에 만유인력의 중요한 의의가 있는 것이다.

여기에는 한 가지 문제가 있다. 뉴턴 역학은 기본적으로 크기가 무한히 작은 점 입자에 대한 이론이다. 하지만 지구나 태양은 3차원 공간에 질량이 퍼져 분포해 있다. 서울 한복판에 서 있는 홍길동에게 미치는 지구의 중력을 생각해 보자. 지구는 수많은 물질이 구형으로 뭉쳐져 있으므로 지구를 이루는 모든 질량요소가 홍길동에게 중력을 미친다. 멀리 부산에 있는 돌덩이, 바다 건너 일본열도, 지구 반대편 브라질 태평양의 모든 물, 그리고 지표면 속의 모든 물질이 홍길동에게 중력을 미친다. 이 모든 요소를 다 합치면 어떻게 될까? 놀랍게도 지구의 모든 질량이 지구 중심에 점 입자로 집중되어 홍길동에 중력을 미칠 때와 완전히 똑같은 효과를 발휘한다. 이는 지구-태양의 경우에도 성립하며, 질량이 구형대칭으로 분포해 있는 물체레 대해서 항상 성립하는 성질이다. 뉴턴은 이 문제를 해결하기 위해 한동안 무척 고민을 했다고 전해진다. 후대의 수학자인 독일의 가우스는 이 성질을 수학적으로 간단하게 정리했는데, 이를 가우스 법칙이라고 부른다.